PORCENTAJES
En matematicas , el porcentaje es
una forma de expresar un número como
una fracción que tiene el número 100
como denominador. También se le
llama comúnmentetanto por ciento, donde por ciento significa
«de cada cien unidades». Se usa para definir relaciones entre dos cantidades,
de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es
un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada
cien de esa cantidad.
El porcentaje se denota utilizando el
símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe
escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de
separación.1 Por ejemplo,
«treinta y dos por ciento» se representa mediante 32 % y
significa ‘treinta y dos de cada cien’. También puede ser representado:
y, operando:
El 32 % de 2000, significa la parte
proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir:
640 unidades en total.
El porcentaje se usa para comparar una fracción
(que indica la relación entre dos cantidades) con otra, expresándolas mediante
porcentajes para usar 100 como denominador común. Por ejemplo, si en un país
hay 500 000 enfermos de gripe de un total de 10 millones de personas, y en
otro hay 150 000 enfermos de un total de un millón de personas, resulta
más claro expresar que en el primer país hay un 5 % de personas con gripe,
y en el segundo hay un 15 %, resultando una proporción mayor en el segundo
país.
El símbolo % es una
forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a
partir de un símbolo similar sólo que presentaba una línea horizontal en lugar
de diagonal (c. 1650), que a su vez
proviene de un símbolo que representaba «P cento» (c. 1425).
Signos relacionados incluyen ‰ (por mil) y ‱ (por diez mil,
también conocido como un punto básico), que indican que un número se divide por
mil o diez mil, respectivamente.
Recta numérica
La recta numérica es un gráfico
unidimensional de una línea recta en la que
los números enteros son
mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente.
Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simple,
implicando especialmente números
negativos.
La
recta numérica. Aunque la imagen de arriba muestra solamente los números
enteros entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando
«ilimitadamente» en cada sentido.
umérica mostrada arriba, los números negativos se
representan en rojo y los positivos en morado.
Recta
real.
La recta
numérica real o recta de coordenadas es una
representación geométrica del conjunto de los números
reales. Tiene su origen en el cero,
y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente
hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda).
Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número
real. Se usa el símbolo
para este conjunto.
Se
construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta
para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia
adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto
establece la escala de la recta numérica.
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Proporcionalidad: directa e inversa
|
Para
comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar
por comprender el concepto de razón.
Razón y proporción numérica
Razón
entre dos números
Siempre
que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos
refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.
Entonces:
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Razón entre dos números a y b es
el cociente entre
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Por ejemplo, la razón entre 10 y
2 es 5, ya que
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Y la razón entre los números 0,15
y 0,3 es
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Proporción
numérica
Ahora,
cuando se nos presentan dos razones para
ser comparadas entre sí, para ver como se comportan entre ellas, estaremos
hablando de una proporción numérica.
Entonces:
|
Los números a, b, c y d forman
una proporción si la razón entre a y b es
la misma que entre c y d.
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Es decir
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Se lee “a es a b como c es
a d”
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Los
números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la
razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.
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Es decir
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En la proporción
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hay cuatro términos; a y d se
llaman extremos, c y b se
llaman medios.
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La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda
proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.
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Así, en la proporción
anterior
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se
cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los
medios nos da 5 x 8 = 40
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Comprendido
el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora
veremos que esa relación puede darse en dos sentidos:
Las
dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las
magnitudes sube la otra bajo y viceversa.
Si
ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o
relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes
directamente proporcionales.
Si
ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la
misma cantidad, hablaremos de Magnitudes
inversamente proporcionales.
MAGNITUDES
DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
|
Si dos magnitudes
son tales que a doble, triple... cantidad de la primera
corresponde doble, triple... cantidad de la segunda,
entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.
|
Ejemplo
Un
saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un
cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20
kg se podrán hacer?
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Número de sacos
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1
|
2
|
3
|
...
|
26
|
...
|
|
Peso en kg
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20
|
40
|
60
|
...
|
520
|
...
|
Para
pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para
pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
|
Observa que
|
|
Las
magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente
proporcionales.
La constante
de proporcionalidad para pasar de número de
sacos a kg es 20.
Esta
manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que
llamaremos Regla de tres y que nos
servirá para resolver un gran cantidad de problemas matemáticos.
PSU:
Matemática;
REGLA
DE TRES SIMPLE DIRECTA
Ejemplo
1
En 50
litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar
contendrán 5.200 gramos de sal?
Como
en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple,
triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua ycantidad de
sal son directamente proporcionales.
Si
representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal,
y formamos la siguiente tabla:
|
Litros de agua
|
50
|
x
|
|
Gramos de sal
|
1.300
|
5.200
|
|
Se verifica la
proporción:
|
|
Y
como en toda proporción el producto de medios es igual
al producto de extremos (en palabras
simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:
50
por 5.200 = 1.300 por x
|
Es
decir
|
|
En
la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
|
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se
conoce con el nombre de regla de tres simple directa.
|
Ver:
PSU: Matemática;
Ejemplo
2
Un
automóvil gasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en
el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?
Luego,
con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km
MAGNITUDES
INVERSAMENTE PROPORCIONALES
|
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad
de la primera corresponde la mitad, la tercera parte...
de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente
proporcionales.
|
Ejemplo
Si
3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18
hombres para realizar el mismo trabajo?
En
este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple
número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por
tanto, las magnitudes son inversamente
proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales).
Formamos
la tabla:
|
Hombres
|
3
|
6
|
9
|
...
|
18
|
|
Días
|
24
|
12
|
8
|
...
|
?
|
Vemos
que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72
Por
tanto 18 por x = 72
O
sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
Nótese
que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando
las magnitudes y que su producto será siempre igual.
|
Importante:
Como regla general,
la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes inversamente proporcionales
se obtiene multiplicando las magnitudes entre sí, y el resultado se mantendrá
constante.
|
REGLA
DE TRES SIMPLE INVERSA (O
INDIRECTA)
Ejemplo
1
Un
ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días.
¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?
Vemos
que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la
mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto,
son magnitudes inversamente proporcionales.
X
= número de días para el que tendrán comida las 450 vacas
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Nº de vacas
|
220
|
450
|
|
Nº de días
|
45
|
x
|
|
Se cumple que: 220 por 45 = 450 por
x, de donde
|
|
En
la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Luego
450 vacas podrán comer 22 días
|
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se
conoce con el nombre de regla de tres simple inversa.
|
Ejemplo
2
Para
envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de
capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32
toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?
Pues
la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por x
Debemos
tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma
cantidad de vino.
PROPORCIONALIDAD
COMPUESTA DE MAGNITUDES
Regla
de tres compuesta. Método de reducción a la unidad
Ejemplo
1: Proporcionalidad directa
Cuatro
chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En las
mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de
campamento?
§ Doble
número de chicos acampados el mismo número de días gastarán el
doble. Luego las magnitudes número de chicos y dinero gastado son directamente
proporcionales.
§ El mismo
número de chicos, si acampan el doble número de días gastarán el doble.
Luego las magnitudes número de días de acampada y dinero gastado son directamente
proporcionales.
Hemos
relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la
cantidad desconocida, gasto.
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SABEMOS QUE
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|
pesos
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REDUCCIÓN A LA UNIDAD
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pesos
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|
pesos
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|
pesos
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BÚSQUEDA DEL RESULTADO
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|
pesos
|
Ejemplo
2: Proporcionalidad inversa
15
obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo.
¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas
diarias?
§ Doble
número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de
horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el
número de días de trabajo son inversamente proporcionales.
§ Doble
número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la mitad
de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y
el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.
Hemos
relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias
de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.
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SABEMOS QUE
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REDUCCIÓN A LA
UNIDAD
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BÚSQUEDA DEL
RESULTADO
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Sucesión matemática
Una sucesión infinita de números reales (en azul).
La sucesión no es ni creciente, ni decreciente, ni convergente, ni es unasucesión de Cauchy.
Sin embargo, sí es unasucesión acotada.
Una sucesión matemática es
un conjunto ordenado de objetos
matemáticos, generalmente números. Cada uno de
ellos es denominado término(también elemento o miembro)
de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se
le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse
con una serie matemática, que es la suma
de los términos de una sucesión.
A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen
los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una
posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de
los números naturales (o un
subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.
Ejemplo
La sucesión (A, B, C) es una sucesión de
letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En
este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de
sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...
En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas
con palabras sobre un conjunto. Puede
considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este
caso puede excluirse dependiendo del contexto.
Definiciones
Las
diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y
poco general es la definición de sucesión numérica,
en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva.
Una sucesión
finita
(de longitud m) con elementos
pertenecientes a un conjunto S, se define como una función
y
en este caso el elemento
corresponde a
.
corresponde
a la función
(donde
es el conjunto de números primos) definida
por:
Una sucesión
infinita
con elementos pertenecientes a un
conjunto S, se define como una función
en
donde, de forma análoga,
corresponde a
.
Notaremos
por
a una sucesión, donde x la
identifica como distinta de otra digamos
.
La
notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.
Llamaremos término
general de una sucesión a
,donde el subíndice
indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.
Llamaremos parcial de
a una sucesión
donde
.
Progresión aritmética
En matemáticas,
una progresión aritmética es una sucesión de números tales
que la diferencia de
dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante,
cantidad llamada diferencia de la progresión o
simplemente diferencia o incluso "distancia".
Por
ejemplo, la sucesión matemática: 3, 5, 7, 9, 11,...
es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2.
Así como: 5 ; 2 ; -1 ; -4 es una progresión aritmética de
constante "-3".
El término general
de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término
restándole la diferencia al término siguiente. El término de una progresión
aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos,
conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión.
La fórmula del término general de una progresión aritmética
es:
Donde d es
un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión
aritmética es
y la diferencia común es
, entonces el término
-ésimo de la sucesión viene dada por
La primera opción
ofrece una fórmula más sencilla, ya que es común en el lenguaje el uso de
"cero" como ordinal. Generalizando,
sea la progresión aritmética:
tenemos que:
...
sumando miembro a
miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:
expresión del
término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia.
Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello
consideremos los términos
y
(
) de la progresión anterior y pongámolos en función
de
:
Restando ambas
igualdades, y trasponiendo, obtenemos:
expresión más
general que (I) pues nos da los términos de la progresión
conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.
Dependiendo de que
la diferencia
de una progresión aritmética sea positiva,
nula o negativa, tendremos:
d>0: progresión
creciente. Cada término es mayor que el anterior.
·
Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (
)
d=0: progresión
constante. Todos los términos son iguales.
·
Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (
)
d<0: progresión
decreciente. Cada término es menor que el anterior.
·
Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... (
)
Polinomio
En matemáticas, un polinomio (del griego, πολυς polys 'muchos'
y νόμος nómos 'regla, prescripción, distribución', a través
del latín polynomius)12 3 es una expresión matemática constituida
por un conjunto finito de variables (no determinadas o
desconocidas) y constantes (números
fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma,
resta y multiplicación, así como también exponentes enterospositivos. En
términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión
de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables
indeterminadas.
Es frecuente el
término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial),
como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios
de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.
Los polinomios son
objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son
utilizados en cálculo y análisis matemático para
aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las
funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas,
desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas
como la física, química, economía y las ciencias
sociales.
En áreas de
las matemáticas aplicadas, los polinomios
son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto
central en álgebra abstracta y geometría algebraica.
Para a0, …, an constantes
en algún anillo A (en
particular podemos tomar un cuerpo, como
o
, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán
números) con an distinto de cero y
, entonces un polinomio,
, de grado n en la variable x es
un objeto de la forma
Las
constantes a0, …, an se
llaman los coeficientes del polinomio.
A a0 se le llama el coeficiente constante (o
término independiente) y a an, el coeficiente
principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama
mónico o normalizado.
Los polinomios de
varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de
una variable. Por ejemplo los monomios:
En detalle el
último de ellos
es un monomio de tres variables (ya que en él
aparecen las tres letras x, y y z), el
coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.
Se define el grado
de un monomio como el
mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de
mayor grado.
Ejemplos
P(x) = 2,
polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x +
2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² +
2x², polinomio de grado dos.
P(x) = 2x3+
3x + 2, polinomio de grado tres.
Convencionalmente
se define el grado del polinomio nulo como
. En particular los números son polinomios de grado
cero.
Los polinomios se
pueden sumar y restar agrupando
los términos y simplificando los monomios semejantes.
Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada
uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios
semejantes.
Ejemplo
Sean los
polinomios:
y
, entonces el producto es:
Para poder
realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de
mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios
es la siguiente:
Aplicando esta
fórmula al ejemplo anterior se tiene:
Puede comprobarse
que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado
de los polinomios
y
y el polinomio producto
:
Puesto que el
producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio
nulo, se define convencionalmente que
(junto con la operación
) por lo que la expresión (*) puede extenderse
también al caso de que alguno de los polinomios sea nulo.
OPERACIONES
BASICAS CON POLINOMIOS
OPERACIONES
BÁSICAS CON POLINOMIOS
· SUMA Y
RESTA
Solo se pueden sumar y
restar cosas iguales, por ejemplo: manzanas con manzanas; metros con metros;
pesos con pesos, etc.
Los ejemplos anteriores
se relacionan con el hecho de que sólo se pueden sumar o restar términos que
sean semejantes.
SUMAR: significa que respetes
el signo de cada término que se coloca después del símbolo de suma.
RESTA: significa que debemos
cambiar por el inverso aditivo el coeficiente del término que está después del
símbolo de resta.
EJEMPLOS:
(3x+4y-5z) + (-3y+3z+x)
Primero se identifican
los términos semejantes
Después se realiza ya sea
suma o resta para obtener el producto final
RESULTADO: 4x+y-2z
(-2b+4c-5a) + (-a+2b+2c)= -6a+6c
· PRODUCTO
1. Se multiplicará cada término del primer polinomio
por el otro polinomio.
2. Se tendrá en cuenta los signos para que el
resultado sea el adecuado.
EJEMPLOS:
(2x-3y) (
)= -
Se multiplica primero el
2x por los términos del otro polinomio y después el -3y
(
) (
)= -
· COCIENTE
Para resolver este tipo
de divisiones es necesario el uso de la galera, pues no existe otra forma
posible para su resolución.
1. Ordenar el dividendo (va dentro de la galera),
según las potencias descendentes (de mayor a menor) de una misma literal que
aparezca en ambos polinomios.
2. Si el dividendo no cuenta con todas sus potencias
continuas, debemos dejar un espacio en blanco en donde éstas falten.
3. Para obtener el primer termino del cociente,
dividimos el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor.
4. Multiplicamos este primer término del cociente
por todo el divisor y se resta algebraicamente del dividendo.
5. El residuo obtenido se trata como un nuevo
dividendo y se repiten los pasos 3 y 4.
6. Continuamos con este proceso, hasta que en el
residuo el exponente de la literal que escogimos sea menor que el exponente de
la misma literal en el divisor.
NOTA: LA
VERDAD NO LE PUDE REPRESENTAR NINGÚN EJEMPLO PORQUE ESTABA UN POCO
DIFÍCIL DE HACERLO, PERO CREO QUE EL PROCEDIMIENTO ES MUY ENTENDIBLE.
Productos notables
Productos notables es el nombre
que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen
ciertas reglas fijas, cuyo resultado
se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas
multiplicaciones habituales.
Cada producto
notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la
factorización de una diferencia de cuadrados
perfectos es un producto de dos binomios
conjugados, y recíprocamente.
Factor común
El resultado de
multiplicar un binomio
por un término
se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
Para esta
operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta.
El área del rectángulo es
Ejemplo:
Cuadrado de un
binomio
Para elevar
un binomio al cuadrado
(es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término
con el doble del producto de ellos. Así:
En ambos casos el
signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:
Simplificando:
Producto de dos
binomios con un término común
Cuando se
multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término
común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al
resultado se añade el producto de los términos diferentes.
Ejemplo:
Agrupando
términos:
Luego:
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